Analysis I [Lecture notes] by Dirk Ferus

By Dirk Ferus

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Die Behauptung bleibt ohne die Voraussetzung (26) richtig, wenn man (xn /yn ) als (xn /yn )n≥N interpretiert. Wir erinnern daran, dass f¨ ur die Konvergenz der Anfang der Folge keine Rolle spielt. Definition 77. h. wenn die Eigenschaft f¨ ur alle n von einem gewissen N an richtig ist. Man sagt dann auch, die Eigenschaft sei richtig f¨ ur alle hinreichend großen n. Satz 78. Seien (xn ) und (yn ) konvergente Folgen mit den Grenzwerten lim xn = a, lim yn = b. Es gelte f¨ ur fast alle n: xn ≤ yn . Dann folgt a ≤ b.

Wir betrachten zun¨ achst den Fall, dass a und b reelle Zahlen sind. Offenbar ist I ⊂ [a, b]. Es gen¨ ugt also zu zeigen, dass ]a, b[⊂ I. Nach Satz 93 gibt es aber in I eine monoton fallende Folge an ∈ I mit lim an = a und eine monoton wachsende Folge bn ∈ I mit lim bn = b. Ist a < x < b, so gibt es also ein n mit an < x < bn , und nach Voraussetzung ist x ∈ I. Also ist ]a, b[⊂ I. a = inf I = −∞ und b ∈ R, so ist zu zeigen, dass ] − ∞, b[⊂ I ⊂] − ∞, b]. In diesem Fall gibt es eine Folge an in I mit lim an = −∞.

Ein wichtiger Begriff ist der der Teilfolge: 48 Definition 79. Sei (xn ) eine Folge. Eine Teilfolge von (xn ) ist eine Folge (yk )k∈N , f¨ ur die es eine streng monoton wachsende Folge (nk )k∈N nat¨ urlicher Zahlen gibt, so dass yk = xnk f¨ ur alle k ∈ N. Man sagt oft einfach: Sei (xnk )k∈N eine Teilfolge von (xn ). Die Teilfolge entsteht aus der Originalfolge durch Weglassen von Gliedern, so dass aber noch eine unendliche Folge verbleibt. n Beispiel 80. Die Folge (1/2n) ist eine Teilfolge der Folge ( (−1) n )n≥1 .

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