Algebren by Max Deuring (auth.)

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IX - 1 IXi IX = ui IXi für IX =f= 0 aus A. 8z. Satz 2. Jedes zweiseitige Ideal a von 5a:A ist Erweiterungsideal eines zweiseitigen Ideals ao von 5a:z , umgekehrt ist ao = an 5a:z . Beweis. Wir wenden Satz 2, § 1 an auf 5a:A als A-Modul und a als Tellmodul. Die Automorphismengruppe von A soll aus den inneren Automorphismen bestehen, ihr Invariantenkörper ist daher Z. Diese Gruppe kann auf 5a:A ausgedehnt werden, weil die 5a:-Elemente mit den A-Elementen vertauschbar sind; ihr Invariantenbereich in 5a:A ist 5a:z .

4) und (5) erfüllt, heißt ein direkter bzw. ein reziproker Darstellungsmodul von ~ in K. Es hat sich also ergeben, daß zu einer (reziproken) Darstellung von ~ in K ein (reziproker) Darstellungsmodul rol gehört, der die Darstellung liefert als die Matrizen A, welche die durch Multiplikation mit a gegebene lineare Transformation einer gewissen Basis! von rol zum Ausdruck bringen. ), wo Q ein Matrix mit Inverser Q-l ist, so wird bzw. QQ-1AQ = ~Q-1AQ a~ = aQ! = Qa! = QA! = QAQ-1Q! = QAQ-l~. Die Basis ~ a~ liefert also die Darstellung a -+ Q-l AQ bzw.

Reziproke Darstellung a -+ A von ~ in K erzeugt, indem A durch a! A bzw. a! = A! definiert wird. Ein ~- Linksmodul rol, der zugleich ein Linearformenmodul in K ist und der die Regeln (3) bzw. (4) und (5) erfüllt, heißt ein direkter bzw. ein reziproker Darstellungsmodul von ~ in K. Es hat sich also ergeben, daß zu einer (reziproken) Darstellung von ~ in K ein (reziproker) Darstellungsmodul rol gehört, der die Darstellung liefert als die Matrizen A, welche die durch Multiplikation mit a gegebene lineare Transformation einer gewissen Basis!

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